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図形の角

敷き詰められるのはどうしてか？

森竹高裕

　図形の角について学習を進めてきた。三角形の角の和は１８０°、四角形は３６０°ということが分かった。同じ形の図形を交互に置いていくと、平面を敷き詰めることができる。どんな形だと敷き詰めることができるのか学習をした。まず、

この中で敷き詰めることができるのはどの形でしょうか。

　子どもたちに予想を聞くと〈できる〉と答えた人数は
〈ア〉３６人　〈イ〉１６人　〈ウ〉５人　〈エ〉２８人　であった。
〈エ〉がずいぶん多かったのは、教科書にこの図が載っていたからである。

　予想を聞いたところで、実際に敷き詰めをしてみた。

敷き詰められるかどうか、実際に模様を敷き詰めてみよう。

　紙を切って図を交互に置いて敷き詰められてかどうかを試してみた。
実際にやってみると、確かにどれも敷き詰めることができるのだ。次にどうして敷き詰めることができたのかを考えてみた。

どうして台形や平凡な四角形でも敷き詰めることができたのだろう。何かコツはありましたか。

　まずは個人で考えてみた。具体的な作業はしているのであるが、どこを見て何を気にしているのかを問われると、案外意識していない。敷き詰めるときにどこを見ていたのと声をかけると、角や辺をあげる子が多かった。

• ひっくり返して３６０°になれば敷き詰めることができる。
• ひっくり返して回す。辺の長さを見て同じ辺の長さを合わせる。
• 角が集まったところを３６０°にする。同じ辺の長さを合わせる。
• 台形も平凡四角形も同じ形のものだけを敷き詰めるので、同じ長さの辺がどこかに絶対あるはず。敷き詰めるときは同じ長さのところをくっつけて、どんな形でも同じ形のものだけを使えば、私はその辺があるので敷き詰められる。
• 形が敷き詰められたら、中心が必ず３６０°になる。

各班ごとに話し合ったあと、全体で意見を出し合うと

・角の中心を合わせると３６０°になると良い。 　・同じ辺の長さ同士を合わせるといい というコツが見つかった。

　形が変わっている四角形でも敷き詰められてのは、四つの角を合わせると３６０°になるからと気づくことができた。四つの角に印を付けて、３６０°になることを確認してもよかった。

　次に辺について目を向けさせようと、こんな図形を提示した。

この形は敷き詰めることができると思いますか？

　これはだまし絵などで有名なエッシャーのエッシャータイルと呼ばれるものである。ほとんどの子は〈できない〉と考えたが、実際にはできることを見せると「えーっ！」と驚いていた。

どうしてこの形でも敷き詰められるのでしょう？

と問うと、
　・でっぱっているところをひっこめたり、へこんでいるところを伸ばしたりすれば、四角形の形に戻るから。

　そうなのだ。エッシャータイルは、元になっている形を点対象になるように変形させて敷き詰める模様を作っている。一見したところとてもできそうもない形が敷き詰められて美しく不思議な空間を作り出している。

　次の時間にはこうしたしきつめ模様をパソコンを使って、その規則性を確かめたり、自分でも敷き詰める模様づくりに挑戦したりした。

　【しきつめ君Ｆｌａｓｈ】でしきつめ模様を作ってみよう

　作品愛知教育大学で作成したしきつめ模様作成ソフトで簡単な操作でしきつめ模様をつくることができる。できた作品はネット上に保存することができる。