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二桁のかけ算

不思議なかけ算

森竹高裕

　二桁のかけ算の発展的な学習として不思議なかけ算に挑戦した。まず、最初の問題は十の位と一の位を入れ替えた数字の積は等しくなる、という問題である。

３６×４２と６３×２４の答えは同じになると思いますか。

　一人を除いた全員が〈違う〉と予想した。これまでの経験でそう感じている。そこで実際に計算してみると、

　３６×４２＝１５１２　
　６３×２４＝１５１２　

　どちらも同じ答えになった。「えー！、同じ答えになったよ」という声が起きた。そこで、

ほかにもひっくり返して、同じ答えになる計算があるか探してみよう。

　いきなりこうした数の組み合わせを見つけるのは難しいので、電卓を使うことにした。少しずつヒントを出していて、その答えが、

　３４×８２＝２９２４
　４３×６８＝２９２４

であることを突き止めた。でも、どうしてこんなことになるのだろう。筆算を図のように、詳しく書くと、どちらも２４，１８，３２，２４が出てくる。
　正確には、２４，１８０，３２０，２４００で、１８，３２が１８０，３２０のように同じ桁のことろで交換しているだけなので、答えが等しくなる。

　次に式の差と積の差について計算をした。

３８×４２と４０×４０の答えを比べてみよう。何か気がつくことはありますか。　

　４０を中心とした４２と３８の差は、４８−３８＝４である。答えの差は、

　　　　　　３８×４２＝１５９６
　　　　　　４０×４０＝１６００　　　なので、
　　１６００−１５９６＝４　　　　　　となる。

　つまり式の差（４２−３８）と、答えの差（１６００−１５９６）がどちらも４になっている。どちらも４だけ違うことに子どもたちはすぐに気がついた。そこで、

式で違うだけ分だけ答えも違うのか計算してみよう。

　計算練習もかね、いろいろなケースについて計算で確かめてみた。

　４１×３９　と　４０×４０　　１５９９と１６００（１違い）
　５７×６３　と　６０×６０　　３５９１と３６００（９違い）

このように、必ずしも式の違いが答えの違いになってきないことが分かった。数学的には、（ｘ−ａ）（ｘ＋ａ）＝ｘ−ａ　の計算をやっていることになる。試行錯誤で計算をして分類をしていけば、

ある数（４０）を中心として、
　１だけ違う（３９と４１）のときの答えの差は１（１×１）
　２ （３８と４２）　　　　　　　　　　　　　　　　　 ４（２×２）
　３ （３７と４３）　　　　　　　　　　　　　　　　　 ９（３×３）
　４ （３６と４４）　　　　　　　　　　　　　　　　　 １６（４×４）

という決まりに気がついたかもしれない。式の差が４のときは、
１８×２２，２８×３２，３８×４２，４８×５２…　どれも答えの差が４になる。これも（ｘ−ａ）（ｘ＋ａ）＝ｘ−ａを計算しているからである。

　最後は、少し難しい挑戦問題に取り組んだ。

□□×□□＝５９６３になる式を見つけよう。ただし□の中は、１２×３４のように連続しています。

　こんな問題も子どもの挑戦意欲をかき立てる。電卓片手にパチパチやっていた。手計算でやらせても良かった。あれこれ試行錯誤して、６，７，８，９であることを突き止めた。「ふー、やっと見つかった」の声も起きた。答えも「５９５３（ごくろうさん）と言っているよ」と声をかけると、「なんだぁ」と一同脱力した。